Question

20．已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）直线l过点（-2，0）且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；
（2）从直线2x-4y+3=0上一点P向圆引一条切线，切点为M，求|PM|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据直线l过点（-2，0）且被圆C截得的弦长为2，可得圆心C到l的距离，分类讨论，求出直线的斜率，即得直线的方程．
（2））|PM|=$\sqrt{|CP{|}^{2}-2}$，求|PM|的最小值，即求出|PC|的最小值．

解答 解：（1）圆C的方程可化为（x+1）²+（y-2）²=2．
∵直线l过点（-2，0）且被圆C截得的弦长为2，
∴圆心C到l的距离为d=$\sqrt{2-1}$=1．
l的斜率不存在时，直线x=-2，满足题意；
l的斜率存在时，设l：y=k（x+2），即kx-y+2k=0，
 圆心C到l的距离d=$\frac{|-k-2+2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1
∴k=$\frac{3}{4}$，∴l：3x-4y+6=0．
综上所述，直线l的方程x=-2或3x-4y+6=0；
（2）|PM|=$\sqrt{|CP{|}^{2}-2}$，∴求|PM|的最小值，即求出|PC|的最小值．
|PC|的最小值为C到直线2x-4y+3=0的距离$\frac{|-2-8+3|}{\sqrt{4+16}}$=$\frac{7\sqrt{5}}{10}$．
∴|PM|_min=$\sqrt{|CP{|}^{2}-2}$=$\sqrt{\frac{49}{20}-2}$=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$．

点评 本题考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、以及弦长公式的应用，属于中档题．