Question

1．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cosx，sinx）和$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$-sinx，cosx），
（1）设f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$，求函数y=f（$\frac{π}{3}$-2x）的单调区间；
（2）若x∈[π，2π]，求|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|的最大值．

Answer 1

分析 （1）代入数量积公式化简，结合三角函数性质得出；
（2）求出|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|²的表达式并化简，根据x的范围求最大值．

解答 解：（1）f（x）=cosx（$\sqrt{2}$-sinx）+sinxcosx=$\sqrt{2}$cosx．∴f（$\frac{π}{3}-2x$）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{3}$），
令2kπ-π≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ，解得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
令2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，解得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$．
∴函数y=f（$\frac{π}{3}$-2x）的单调增区间是[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，减区间是[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（2）$\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}$=（cosx+sinx-$\sqrt{2}$，sinx-cosx），∴|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|²=（cosx+sinx-$\sqrt{2}$）²+（sinx-cosx）²=4-2$\sqrt{2}$（sinx+cosx）=4-4sin（x+$\frac{π}{4}$）．
∵x∈[π，2π]，∴x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{5π}{4}$，$\frac{9π}{4}$]．∴当x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{2}$时，|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|²取得最大值8．
∴|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|的最大值是2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了平面向量的应用及三角函数化简求值，属于中档题．