Question

5．椭圆$\frac{{x}^{2}}{80}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1上的点到直线x+2y-$\sqrt{10}$=0的最大距离是（　　）

• A． 3
• B． 5$\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 设出与x+2y-$\sqrt{10}$=0平行的直线方程x+2y+c=0，与椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程后由判别式等于0求得c值，得到与椭圆相切，并且与直线x+2y-$\sqrt{10}$=0距离远的直线方程，再由两平行线间的距离公式得答案．

解答 解：设直线x+2y+c=0与椭圆$\frac{{x}^{2}}{80}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1相切，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y+c=0}\\{\frac{{x}^{2}}{80}+\frac{{y}^{2}}{20}=1}\end{array}\right.$，得2x²-2cx+c²-80=0．
由△=（-2c）²-8（c²-80）=-4c²+640=0，
解得：c=$±4\sqrt{10}$．
∴当c=4$\sqrt{10}$时，直线x+2y+$4\sqrt{10}$=0与直线x+2y-$\sqrt{10}$=0相距最远．
则椭圆$\frac{{x}^{2}}{80}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1上的点到直线x+2y-$\sqrt{10}$=0的最大距离是$\frac{|5\sqrt{10}|}{\sqrt{5}}=5\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间距离公式的应用，是中档题．