Question

17．已知函数f（x）的定义域为R，且对于任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），又x＞1时，f（x）＞0．
（1）判断f（x）的奇偶性性并加以证明．
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上单调递增．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义结合抽象函数的关系进行判断即可．
（2）根据函数的单调性的定义判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明．

解答 解：（1）f（x）是偶函数，令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
令x=y=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1），
则f（-1）=0，
令y=-1，∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（-x）=f（x）+f（-1），
∵f（-1）=0，
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函数；
（2）f（x）在（0，+∞）上的是增函数，
设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＞x₂，则$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}＞1$，
∴f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，
∴$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=f（{x}_{2}?\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）-f（{x}_{2}）$=$f（{x}_{2}）+f（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）-f（{x}_{2}）=f（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）＞0$，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上的是增函数．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法．结合函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．