Question

20．已知a，b，c∈R₊．
（1）比较：$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$与$\frac{9}{2（a+b+c）}$的大小
（2）当$\frac{b}{a}$+$\frac{2c}{b}$+$\frac{4a}{c}$取最小值m时，求m+$\frac{b+c}{a}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式，即可得出结论；
（2）$\frac{b}{a}$+$\frac{2c}{b}$+$\frac{4a}{c}$≥3$\root{3}{\frac{b}{a}•\frac{2c}{b}•\frac{4a}{c}}$=6，当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{2c}{b}$=$\frac{4a}{c}$=2时，取等号，即m=6，b=2a，c=2a，即可求m+$\frac{b+c}{a}$的值．

解答 解：（1）∵（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$）[（a+b）+（b+c）+（c+a）]=3+$\frac{b+c}{a+b}+\frac{a+b}{b+c}$+$\frac{c+a}{a+b}+\frac{a+b}{c+a}$+$\frac{c+a}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}$≥3+2+2+2=9，
∴$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$≥$\frac{9}{2（a+b+c）}$；
（2）$\frac{b}{a}$+$\frac{2c}{b}$+$\frac{4a}{c}$≥3$\root{3}{\frac{b}{a}•\frac{2c}{b}•\frac{4a}{c}}$=6，当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{2c}{b}$=$\frac{4a}{c}$=2时，取等号，即m=6，b=2a，c=2a，
∴m+$\frac{b+c}{a}$=6+4=10．

点评 本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是关键．