对于在区间[p.q]上有意义的两个函数f.如果对于任意的x∈[p.q].都有|f.g(x)在区间[p.q]上是“接近的两个函数.否则称它们在区间[p.q]上是“非接近的两个函数．现有两个函数f(x)=loga=loga1x-a给定一个区间[a+2.a+3]．在区间[a+2.a+3]有意义.求实数a的取值范围,在区间[a+2.a+3]上是否是“接近的 � 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

对于在区间[p，q]上有意义的两个函数f（x），g（x），如果对于任意的x∈[p，q]，都有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x），g（x）在区间[p，q]上是“接近的”两个函数，否则称它们在区间[p，q]上是“非接近的”两个函数．现有两个函数f（x）=log_a（x-3a），g（x）=log_a

x-a

（a＞0，a≠1）给定一个区间[a+2，a+3]．
（1）若f（x）在区间[a+2，a+3]有意义，求实数a的取值范围；
（2）讨论f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是否是“接近的”．

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数定义域之间的关系，即可求实数a的取值范围；
（2）根据“接近的”的定义和条件即可得到结论．

解答： 解：（1）要使f（x）有意义，则有

x-3a＞0

a＞0且a≠1

⇒x＞3a，
要使f（x）在[a+2，a+3]上有意义，等价于真数的最小值大于0，
即

a+2-3a＞0

a＞0且a≠1

，即0＜a＜1；
（2）|f（x）-g（x）|=|log_a[（x-3a）（x-a）]|=|log_a（x²-4ax+3a²）|=|log_a[（x-2a）²-a²|
当x∈[a+2，a+3]时，（x-2a）²-a²∈[4-4a，9-6a]，
令h（x）=log_a[（x-3a）（x-a）]=log_a（x²-4ax+3a²）．
所以h（x）_min=h（a+3）=log_a（9-6a），h（x）_max=h（a+2）=log_a（4-4a）．
要使|f（x）-g（x）|≤1，
则

loga(4-4a)≤1

loga(9-6a)≥-1

0＜a＜1

，解得：0＜a≤

．
所以当a∈(0，

]时，f（x）与g（x）是接近的；
当a∈（

，1）时，f（x）与g（x）是非接近的两个函数．

点评：本题主要考查函数对数函数的图象和性质以及与函数有关的新定义，考查学生的运算能力．