Question

18．已知$f（x）=sin（\frac{πx}{2}+\frac{π}{6}）+1$，求在$x∈[{-\frac{2}{3}，\frac{5}{3}}]$上的值域[$\frac{1}{2}$，2]．

Answer 1

分析 利用角的范围求出相位的范围，通过正弦函数的有界性求解即可．

解答 解：$x∈[{-\frac{2}{3}，\frac{5}{3}}]$，可得$\frac{πx}{2}+\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，π]，
$f（x）=sin（\frac{πx}{2}+\frac{π}{6}）+1$∈[$1-\frac{\sqrt{3}}{2}$，2]．当$\frac{πx}{2}+\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{6}$时，函数取得最小值；
当$\frac{πx}{2}+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数取得最大值；
故答案为：[$\frac{1}{2}$，2]．

点评 本题考查三角函数的有界性，函数的值域的求法，考查计算能力．