Question

已知函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）．若对满足题设条件的任意b，c，不等式f（c）-f（b）≤M（c²-b²）恒成立，则M的最小值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：f′（x）=2x+b，由题设，x²+（b-2）x+c-b≥0恒成立，从而（b-2）²-4（c-b）≤0，进而c≥

b2

4

+1，由此利用导数性质能求出M的最小值为

3

2

．

解答： 解：f′（x）=2x+b，由题设，对任意的x∈R，2x+b≤x²+bx+c，
即x²+（b-2）x+c-b≥0恒成立，
所以（b-2）²-4（c-b）≤0，从而c≥

b2

4

+1，
于是c≥1，且c≥2

b 4 ×1

=|b|=|b|，
当c＞|b|时，有M≥

f(c)-f(b)

c2-b2

=

c2-b2+bc-b2

c2-b2

=

c+2b

b+c

，
令t=

b

c

，则-1＜t＜1，

c+2b

b+c

=2-

1

t+1

，
而函数g（t）=2-

1

1+t

（-1＜t＜1）的值域是（-∞，

3

2

）；
因此，当c＞|b|时，M的取值集合为[

3

2

，+∞）；
当c=|b|时，由（Ⅰ）知，b=±2，c=2，此时f（c）-f（b）=-8或0，
c²-b²=0，从而f（c）-f（b）≤

3

2

（c²-b²）恒成立；
综上所述，M的最小值为

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．