Question

5．求下列函数的值域
（1）y=$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$．
（2）y=4^x+2^x+1+1．

Answer 1

分析 （1）化简y=$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$=1-$\frac{2}{1{0}^{2x}+1}$，从而求值域；
（2）配方y=4^x+2^x+1+1=（2^x）²+2•2^x+1=（2^x+1）²，从而求函数的值域．

解答 解：（1）y=$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$
=$\frac{1{0}^{2x}-1}{1{0}^{2x}+1}$=1-$\frac{2}{1{0}^{2x}+1}$，
∵10^2x＞0，∴10^2x+1＞1，
∴0＜$\frac{2}{1{0}^{2x}+1}$＜2，
∴-1＜1-$\frac{2}{1{0}^{2x}+1}$＜1，
故函数的值域为（-1，1）．
（2）y=4^x+2^x+1+1=（2^x）²+2•2^x+1
=（2^x+1）²，
∵2^x＞0，∴（2^x+1）²＞1，
故函数的值域为（1，+∞）．

点评 本题考查了函数的值域的求法．