Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，AA₁=2，∠B₁A₁C₁=90°，D为BB₁的中点，则异面直线C₁D与A₁C所成角的余弦值为（　　）

• A、

  15

  15

• B、

  2 5

  7

• C、

  10

  5

• D、

  10

  15

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：连结AC₁交A₁C于点E，取AD的中点F，连结EF，则EF∥C₁D，所以∠CEF或它的补角就是异面直线C₁D与直线A₁C所成的角，由此能求出异面直线C₁D与直线A₁C所成角的余弦值．

解答： 解：连结AC₁交A₁C于点E，取AD的中点F，连结EF，则EF∥C₁D，
∴∠CEF或它的补角就是异面直线C₁D与直线A₁C所成的角，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥A₁C₁，
又A₁C₁⊥A₁B₁，∴A₁C₁⊥平面A₁B₁BA∴AD⊥A₁C₁，AD⊥A₁C₁，则AD⊥AC，
又AF=

1

2

AD=

2

2

，
在△CEF中，CE=

1

2

A₁C=

5

2

，EF=

1

2

C1D=

3

2

，CF=

AC2+AF2

=

6

2

，
cos∠CEF=

CE2+EF2-CF2

2CE•EF

=

15

15

．
∴异面直线C₁D与直线A₁C所成角的余弦值为

15

15

．
故选：A．

点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，解法的关键是将异面直线夹角转化为解三角形问题，用余弦定理求解．