Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，$AD=CD=\sqrt{7}$，$PA=\sqrt{3}$，G为线段PC上的点，∠ABC=120°
（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC；
（Ⅱ）求PC与面PBD所成的角；
（Ⅲ）若G满足PC⊥面GBD，求$\frac{PG}{GC}$的值．

Answer 1

分析 （1）设AC∩BD=O，由△ABD≌△CBD，△ABO≌△CBO，得BD⊥AC，由线面垂直得PA⊥BD，由此能证明BD⊥面PAC．
（2）以O为坐标原点，以OC和OD所在直线为x轴和y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，利用向量法能求出PC与面PBD所成角．
（3）设G（x，y，z），$\overrightarrow{CG}=λ\overrightarrow{CP}$，利用向量法能求出$\frac{PG}{GC}$的值．

解答 解：（1）设AC∩BD=O，∵AB=BC=2，$AD=CD=\sqrt{7}$，
∴△ABD≌△CBD，∴∠ABD=∠CBD，∴△ABO≌△CBO，∴BD⊥AC，
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD，
∵PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．
解：（2）以O为坐标原点，以OC和OD所在直线为x轴和y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，
P（-$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），B（0，-1，0），D（0，2，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），
设面PBD的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
则$\overrightarrow{PB}=（\sqrt{3}，-1，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{BD}=（0，3，0）$，$\overrightarrow{PC}=（2\sqrt{3}，0，-\sqrt{3}）$，
$由\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n⊥\overrightarrow{PB}\\ \overrightarrow n⊥\overrightarrow{BD}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}z=0\\ 3y=0\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow n=（1，0，1）$，
∴$cos\left?{\overrightarrow{PC}，\overrightarrow n}\right＞=\frac{{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow{PC}}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
∴$sinθ=|{cos\left?{\overrightarrow{PC}，\overrightarrow n}\right＞}|=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
即PC与面PBD所成角为$arcsin\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
（3）设G（x，y，z），$\overrightarrow{CG}=λ\overrightarrow{CP}$，得$（x-\sqrt{3}，y，z）=λ（-2\sqrt{3}，0，2\sqrt{3}）$
得$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}-2\sqrt{3}λ\\ y=0\\ z=\sqrt{3}λ\end{array}\right.$，即$G（\sqrt{3}-2\sqrt{3}λ，0，\sqrt{3}λ）$，
∴$\overrightarrow{BG}=（\sqrt{3}-2\sqrt{3}λ，1，\sqrt{3}λ）$
由$\overrightarrow{BG}⊥\overrightarrow{PC}$，得$λ=\frac{2}{5}$，即$\frac{PG}{GC}=\frac{3}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查两线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．