Question

1．设函数f（x）=k•a^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函数．
（1）求常数k的值；
（2）设a＞1，试判断函数y=f（x）在R上的单调性，并解关于x的不等式f（x²）+f（2x-1）＜0．

Answer 1

分析 （1）可看出f（x）的定义域为R，而f（x）又是奇函数，从而有f（0）=0，这样可求出k=1；
（2）f（x）=a^x-a^-x，根据单调性的定义，设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式，便可说明f（x₁）＜f（x₂），这便得出f（x）在R上单调递增，从而根据f（x）为奇函数和增函数便可由原不等式得到x²＜1-2x，解该不等式便可得出原不等式的解集．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为R，f（x）是奇函数；
∴f（0）=k-1=0；
∴k=1；
（2）由（1），f（x）=a^x-a^-x，设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（{a^{x_1}}-{a^{-{x_1}}}）-（{a^{x_2}}-{a^{-{x_2}}}）=（{a^{x_1}}-{a^{x_2}}）（{1+\frac{1}{{{a^{{x_1}+{x_2}}}}}}）$；
∵a＞1，x₁＜x₂；
${a^{x_1}}-{a^{x_2}}＜0$，又$1+\frac{1}{{{a^{{x_1}+{x_2}}}}}＞0$；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0；
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴函数f（x）在R上是单调递增函数；
由f（x²）+f（2x-1）＜0，得f（x²）＜-f（2x-1）；
即f（x²）＜f（1-2x）；
f（x）在R上单调递增；
∴x²＜1-2x，即x²+2x-1＜0；
解得$-1-\sqrt{2}＜x＜-1+\sqrt{2}$；
∴原不等式的解为$（-1-\sqrt{2}，-1+\sqrt{2}）$．

点评 考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，函数单调性的定义，以及根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程，根据函数单调性解不等式的方法．