Question

等比数列{a_n}的前n 项和为S_n，已知S₁，S₂，S₃成等差数列，且a₁-a₃=3
（1）求{a_n}的公比q及通项公式a_n；
（2）b_n=

n

an

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2)，从而q=-

1

2

，a₁=4．由此能求出an=4•(-

1

2

)n-1．
（2）b_n=

n

an

=

n

4(- 1 2 )n-1

=

n(-2)n-1

4

，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2)，
∵a₁≠0，∴2q²+q=0，
∵q≠0，∴q=-

1

2

，
∴a1-a1(-

1

2

)2=3，
解得a₁=4．
∴an=4•(-

1

2

)n-1．
（2）b_n=

n

an

=

n

4(- 1 2 )n-1

=

n(-2)n-1

4

，
Tn=

1

4

[1×(-2)0+2×(-2)+3×(-2)2+…+n×（-2）^n-1]，
-2T_n=

1

4

[1×（-2）+2×（-2）²+3×（-2）³+…+n×（-2）ⁿ]，
两式相减，得：
3T_n=

1

4

[1+（-2）+（-2）²+…+（-2）^n-1-n×（-2）ⁿ]
=

1

4

[

1

3

-

(-2)n

3

-n×(-2)n]，
∴Tn =

1

36

-

(3n+1)(-2)n

36

．

点评：本题考查{a_n}的公比q及通项公式a_n的求法，考查数列{b_n}的前n项和T_n的求法，是中档题，解题时要注意错位相减法的合理运用．