题目内容
3．已知数列{an}，{bn}满足a1=2，b1=1，且$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}=\frac{3}{4}{a}_{n-1}+\frac{1}{4}{b}_{n-1}+1}\\{{b}_{n}=\frac{1}{4}{a}_{n-1}+\frac{3}{4}{b}_{n-1}+1}\end{array}\right.$（n≥2），若cn=an+bn．（1）证明：数列{cn}是等差数列；
（2）求数列{cn}的通项公式．
分析 （1）根据题设得an+bn=（an-1+bn-1）+2（n≥2），即cn=cn-1+2（n≥2），即可得到数列{cn}是等差数列；
（2）由（1）可得数列{cn}的通项公式cn；
解答 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}=\frac{3}{4}{a}_{n-1}+\frac{1}{4}{b}_{n-1}+1}\\{{b}_{n}=\frac{1}{4}{a}_{n-1}+\frac{3}{4}{b}_{n-1}+1}\end{array}\right.$（n≥2），得an+bn=（an-1+bn-1）+2（n≥2），即cn=cn-1+2（n≥2），
∴{cn}是首项为a1+b1=3，公差为2的等差数列；
（2）由数列{cn}是以c1=3为首项，2为公差的等差数列，得
cn=3+2（n-1）=2n+1．
点评 本题主要考查等差数列的性质以及数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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