Question

11．已知椭圆C经过点A（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（0，-1），P是该椭圆上的-个动点，F₁，F₂是椭圆的左右焦点．
（I）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）求PF₁•PF₂的最大值．
（Ⅲ）求$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （I）通过设椭圆C方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），代入点A（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）、B（0，-1），计算可知a²=4、b²=1，进而可得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知PF₁+PF₂=4，利用基本不等式，计算即得结论；
（Ⅲ）通过（I）可知F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），通过设P（x，y），从而可知$\overrightarrow{P{F_1}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y）、$\overrightarrow{P{F_2}}$=（$\sqrt{3}$-x，-y），代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1计算可知$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$=$\frac{3}{4}$x²-2，利用-2≤x≤2即得结论．

解答 解：（I）依题意，设椭圆C方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵椭圆C经过点A（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（0，-1），
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1$，0+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，
∴a²=4，b²=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）由（I）可知PF₁+PF₂=4，
∴4=PF₁+PF₂≥2$\sqrt{P{F}_{1}•P{F}_{2}}$，
∴PF₁•PF₂≤4；
（Ⅲ）由（I）可知F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），
设P（x，y），则$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
∵$\overrightarrow{P{F_1}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y），$\overrightarrow{P{F_2}}$=（$\sqrt{3}$-x，-y），
∴$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y）•（$\sqrt{3}$-x，-y）
=x²-3+y²
=x²-3+1-$\frac{{x}^{2}}{4}$
=$\frac{3}{4}$x²-2，
又∵-2≤x≤2，
∴$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$的最大值和最小值分别为：1、-2．

点评 本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．