题目内容
12．如果x0满足f（x）=x，则称x0为函数y=f（x）的一个不动点，设集合A={x|f（x）=x}，集合B={x|f[f（x）]=x}，为探究集合A和B的关系，王超和张宏做了如下探究：王超：如果我设f（x）=2x+3，求出集合A和B，我由此发现了的它们的一种关系；
张宏：如果我设f（x）=x2-2，求出集合A和B，我也由此发现了集合A和B的一种关系．
（1）请写出王超研究集合A和B的关系的过程；
（2）请写出张宏研究集合A和B的关系的过程；
（3）请你总结归纳王超和张宏的研究结果（不要求证明），运用你发现的结论，解决下面问题：如果当f（x）=x2+bx+c（b、c∈R）时，A={-2，1}，求集合B．
分析 （1）由已知中集合A={x|f（x）=x}，集合B={x|f[f（x）]=x}，令f（x）=2x+3，可得A=B={-3}；
（2）令f（x）=x2-2，可得：A={-1，2}，B={-1，2，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$}；
（3）由（1）（2）得A⊆B，进而结合当f（x）=x2+bx+c（b、c∈R）时，A={-2，1}，求出b，c的值，进而可得集合B．
解答 解：（1）当f（x）=2x+3时，
令f（x）=2x+3=x，解得x=-3，故A={-3}，
令f[f（x）]=4x+9=x，解得x=-3，故B={-3}，
此时A=B
（2）当f（x）=x2-2时，
令f（x）=x2-2=x，解得x=-1，或x=2，故A={-1，2}，
令f[f（x）]=x4-4x2+2=x，解得x=-3，故B={-1，2，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$}，
此时A⊆B
（3）归纳王超和张宏的研究结果可得：A⊆B
当f（x）=x2+bx+c（b、c∈R）时，A={-2，1}，
则-2，1是方程x2+bx+c=x的两根，
即x2+（b-1）x+c=0的两根，
则-2+1=-1=-（b-1），-2•1=-2=c，
即b=2，c=-2，
则f（x）=x2+2x-2，
令f[f（x）]=x4+4x3+2x2-4x-2=x，
即x4+4x3+2x2-5x-2=0，
由A⊆B得：-2，1是方程x4+4x3+2x2-5x-2=0的两根，
则x4+4x3+2x2-5x-2=（x+2）（x-1）（x2+3x+1）=0，
由x2+3x+1=0无解，可得：B={-2，1}．
点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用．解答该题时，借用了一元二次方程的根的判别式与根这一知识点．
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