Question

15．若a₁=1，a_n=-S_nS_n-1，（n≥2），求a_n．

Answer 1

分析 由已知条件推导出{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首项为1，公差为1的等差数列，从而得到S_n=$\frac{1}{n}$，由此能求出a_n．

解答 解：∵a₁=1，a_n=-S_nS_n-1，（n≥2），
∴S_n-S_n-1=-S_nS_n-1，（n≥2），
∴$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=1，又$\frac{1}{{S}_{1}}=\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首项为1，公比为1的等差数列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+（n-1）×1=n，
∴S_n=$\frac{1}{n}$，
∴a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}$=-$\frac{1}{n（n-1）}$，
n=1时，上式不成立，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{-\frac{1}{n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意公式${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$的合理运用．