Question

14．设函数y=f（x）是定义在R⁺上的减函数，并且任意的正实数x，y满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2$\sqrt{2}$）=1．
（1）求f（1）的值；
（2）求f（8）的值；
（3）如果f（4）+f（x-2）＜2，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件通过赋值法求解即可．
（2）结合f（2$\sqrt{2}$）=1，通过赋值法求解即可．
（3）利用函数的单调性，推出结果即可．

解答 解：（1）任意的正实数x，y满足f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0；
（2）f（8）=f（$2\sqrt{2}•2\sqrt{2}$）=f（2$\sqrt{2}$）+f（2$\sqrt{2}$）=2；
（3）如果f（4）+f（x-2）＜2，即：f（4（x-2））=f（4）+f（x-2）＜f（2$\sqrt{2}$）+f（2$\sqrt{2}$）=f（8）．
可得：4（x-2）＞8，解得x＞4
x的取值范围：（4，+∞）．

点评 本题考查抽象函数的应用，函数的单调性，考查计算能力．