题目内容
10．已知数列{an}的前n项和Sn，满足an+Sn=2n，则an=$2-{（\frac{1}{2}）}^{n-1}$．分析 由an+Sn=2n，求出a1=1；当n≥2时，则$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n-1}-2}=\frac{1}{2}$，即数列{an-2}是以-1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，进一步计算即可得到答案．
解答 解：由an+Sn=2n，得a1+a1=2，即a1=1；
当n≥2时，有an-1+Sn-1=2（n-1），
则an-an-1+an=2，即${a}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n-1}+1$，
∴${a}_{n}-2=\frac{1}{2}（{a}_{n-1}-2）$，
则$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n-1}-2}=\frac{1}{2}$，
∴数列{an-2}是以-1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴${a}_{n}-2=-1•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
则${a}_{n}=2-（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
故答案为：$2-{（\frac{1}{2}）}^{n-1}$．
点评 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，是中档题．
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