Question

5．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且nS_n+（n+2）a_n=4n，则a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 由${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}}&{n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}}&{n≥2}\end{array}\right.$得到数列{a_n}的递推式，

解答 解：当n=1时，有S₁+3a₁=4a₁=4，得：a₁=1，
当n≥2，时，由nS_n+（n+2）a_n=4n，即${S}_{n}+\frac{n+2}{n}{a}_{n}=4$①，得：
${S}_{n-1}+\frac{n+1}{n-1}{a}_{n-1}=4$②，
①-②得：${a}_{n}+\frac{n+2}{n}{a}_{n}-\frac{n+1}{n-1}{a}_{n-1}=0$，
即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n}{2（n-1）}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}=\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}•…•\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{1}{{2}^{n-1}}•\frac{2}{1}•\frac{3}{2}•…•\frac{n}{n-1}=\frac{1}{{2}^{n-1}}•n$，
即${a}_{n}=\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
故答案为：$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列通项公式的求法．解题关键是能根据S_n与a_n的关系得到数列的递推公式．考查了转化的思想方法．属于中档题．