Question

11．如图在三棱锥P-ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB，PA=1，PB=2，PC=2，则该棱锥外接球的体积为$\frac{9}{2}π$．

Answer 1

分析 以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的体积公式，可算出棱锥外接球的体积．

解答 解：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图
则长方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC外接球．
∵长方体的对角线长为$\sqrt{1+4+4}$=3，
∴球直径为3，半径R=$\frac{3}{2}$，
因此，棱锥外接球的体积为$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{9}{2}π$．
故答案为：$\frac{9}{2}π$．

点评 本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求棱锥外接球的体积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．