Question

13．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，若∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（1）求证：AC⊥平面BDEF；
（2）设AB=BF=a，求四面体A-BCF的体积．

Answer 1

分析 （1）设AB，CD交于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，由FA=FC可得AC⊥FO，故而AC⊥平面BDEF；
（2）利用等体积，计算四面体A-BCF的体积．

解答 （1）证明：设AB∩CD=O，连接DF，OF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∵AF=CF，O为AC的中点，
∴AC⊥OF，
又∵BD?平面BDEF，OF?平面BDEF，BD∩OF=O，
∴AC⊥平面BDEF．
（2）解：∵=∠DBF=60°，∴FD=FB．
∵O是BD的中点，∴FO⊥BD，
∴FO⊥平面ABCD，
∴h=FO=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴V_A-BCF=V_F-ABC=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}{a}^{2}sin120°•\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{1}{8}{a}^{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，菱形的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．