Question

9．若f（x+1）=2$\sqrt{f（x）}$，其中x∈N^*，且f（1）=10，则f（x）的表达式是f（x）=4•（$\frac{5}{2}$）${\;}^{{2}^{1-x}}$（x∈N^*）．

Answer 1

分析 由题意可得f（x）＞0恒成立，可对等式两边取2为底的对数，整理为log₂f（x+1）-2=$\frac{1}{2}$（log₂f（x）-2），由x∈N^*，可得数列{log₂f（x）-2）}为首项为log₂f（1）-2=log₂10-2，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，运用等比数列的通项公式，整理即可得到f（x）的解析式．

解答 解：由题意可得f（x）＞0恒成立，
由f（x+1）=2$\sqrt{f（x）}$，可得：
log₂f（x+1）=1+log₂$\sqrt{f（x）}$，
即为log₂f（x+1）=1+$\frac{1}{2}$log₂f（x），
可得log₂f（x+1）-2=$\frac{1}{2}$（log₂f（x）-2），
由x∈N^*，可得数列{log₂f（x）-2）}是首项为log₂f（1）-2=log₂10-2，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
可得log₂f（x）-2=（log₂10-2）•（$\frac{1}{2}$）^x-1，
即为log₂f（x）=2+log₂$\frac{5}{2}$•（$\frac{1}{2}$）^x-1，
即有f（x）=2²•2${\;}^{lo{g}_{2}\frac{5}{2}•{2}^{1-x}}$=4•（$\frac{5}{2}$）${\;}^{{2}^{1-x}}$．
故答案为：f（x）=4•（$\frac{5}{2}$）${\;}^{{2}^{1-x}}$（x∈N^*）．

点评 本题考查函数的解析式的求法，注意运用转化思想，通过构造等比数列，运用等比数列的通项公式，考查运算能力，属于中档题．