Question

18．已知函数f（x）=bx-axlnx（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线平y=（1-a）x行．
（1）若函数y=f（x）在[e，2e]上是减函数，求实数a的最小值；
（2）设g（x）=$\frac{f（x）}{lnx}$，若存在x₁∈[e，e²]，使g（x₁）≤$\frac{1}{4}$成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到b-a=1-a，解出b，求出函数的解析式，问题转化为a≥$\frac{1}{lnx+1}$在[e，2e]上恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（2）问题等价于x₁∈[e，e²]时，有g（x）_min≤$\frac{1}{4}$成立，通过讨论a的范围结合函数的单调性求出a的具体范围即可．

解答 解：f′（x）=b-a-alnx，
∴f′（1）=b-a，
∴b-a=1-a，b=1，
∴f（x）=x-axlnx，
（1）函数y=f（x）在[e，2e]上是减函数，
∴f′（x）=1-a-alnx≤0在[e，2e]上恒成立，
即a≥$\frac{1}{lnx+1}$在[e，2e]上恒成立，
∵h（x）=$\frac{1}{lnx+1}$在[e，2e]上递减，
∴h（x）的最大值是$\frac{1}{2}$，
∴实数a的最小值是$\frac{1}{2}$；
（2）∵g（x）=$\frac{f（x）}{lnx}$=$\frac{x}{lnx}$-ax，
∴g′（x）=$\frac{lnx-1}{{（lnx）}^{2}}$=-${（\frac{1}{lnx}-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{4}$-a，
故当$\frac{1}{lnx}$=$\frac{1}{2}$即x=e²时，g′（x）_max=$\frac{1}{4}$-a，
若存在x₁∈[e，e²]，使g（x₁）≤$\frac{1}{4}$成立，
等价于x₁∈[e，e²]时，有g（x）_min≤$\frac{1}{4}$成立，
当a≥$\frac{1}{4}$时，g（x）在[e，e²]上递减，
∴g（x）_min=g（e²）=$\frac{{e}^{2}}{2}$-ae²≤$\frac{1}{4}$，故a≥$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{4e}^{2}}$，
当0＜a＜$\frac{1}{4}$时，由于g′（x）在[e，2e]上递增，
故g′（x）的值域是[-a，$\frac{1}{4}$-a]，
由g′（x）的单调性和值域知：
存在x₀∈[e，e²]，使g′（x）=0，且满足：
x∈[e，x₀），g′（x）＜0，g（x）递减，x∈（x₀，e²]，g′（x）＞0，g（x）递增，
∴g（x）_min=g（x₀）=$\frac{{x}_{0}}{l{nx}_{0}}-{ax}_{0}$≤$\frac{1}{4}$，x₀∈（e，e²），
∴a≥$\frac{1}{l{nx}_{0}}$-$\frac{1}{{4x}_{0}}$＞$\frac{1}{l{ne}^{2}}$-$\frac{1}{4e}$＞$\frac{1}{4}$，与0＜a＜$\frac{1}{4}$矛盾，不合题意，
综上：a≥$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{4e}^{2}}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．