Question

7．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点F₁和右焦点F₂，上顶点为A，AF₂的中垂线交椭圆于点B，若左焦点F₁在线段AB上，则椭圆离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 设|BF₂|=t，由椭圆的定义可得|BF₁|=2a-t，再由中垂线的性质，可得|AB|=|BF₂|=t，即有|AF₁|=2t-2a，在△AF₁F₂中，cos∠AF₁F₂=$\frac{c}{a}$，在△BF₁F₂中由余弦定理，可得cos∠BF₁F₂=$\frac{2c}{a}$-$\frac{a}{c}$=-$\frac{c}{a}$，再由离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：设|BF₂|=t，由椭圆的定义可得|BF₁|=2a-t，
由B为AF₂的中垂线上一点，可得|AB|=|BF₂|=t，
即有|AF₁|=2t-2a，
又|AF₁|=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=a，
解得t=$\frac{3a}{2}$，
即有|AF₂|=|AF₁|=a，|BF₁|=$\frac{a}{2}$，|BF₂|=$\frac{3a}{2}$，|F₁F₂|=2c，
在△AF₁F₂中，cos∠AF₁F₂=$\frac{c}{a}$，
可得cos∠BF₁F₂=-cos∠AF₁F₂=-$\frac{c}{a}$，
由余弦定理，可得cos∠BF₁F₂=$\frac{\frac{{a}^{2}}{4}+4{c}^{2}-\frac{9{a}^{2}}{4}}{2•\frac{a}{2}•2c}$=$\frac{2c}{a}$-$\frac{a}{c}$，
即有$\frac{2c}{a}$-$\frac{a}{c}$=-$\frac{c}{a}$，即为a²=3c²，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的定义和中垂线的性质，结合三角形的余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．