Question

8．已知抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的通径长为4，椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过抛物线C₂的焦点．
（1）求抛物线C₂和椭圆C₁的方程；
（2）已知圆M过定点D（0，2），圆心M在C₂轨迹上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|=m，|DB|=n，求$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的通径长为4，得p=2，由此能求出抛物线C₂的方程．由题意C₂焦点坐标为（0，1），e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由此能求出椭圆C₁的方程．
（2）先利用条件设出圆的方程，并求出A、B两点的坐标以及|DA|=m，|DB|=n的表达式，代入$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}$整理后利用基本不等式求最大值即可．

解答 解：（1）∵抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的通径长为4，
∴2p=4，解得p=2，
∴抛物线C₂的方程为x²=4y．
由题意C₂焦点坐标为（0，1），
∴b=1，
∵离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得a=2，
∴椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）设圆M的圆心坐标为M（a，b），则a²=4b．①
圆M的半径为|MD|=$\sqrt{{a}^{2}+（b-2）^{2}}$．
圆M的方程为（x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²．
令y=0，则（x-a）²+b²=a²+（b-2）²，
整理得，x²-2ax+4b-4=0．②
由①、②解得，x=a±2．
不妨设A（a-2，0），B（a+2，0），
∴m=$\sqrt{（a-2）^{2}+4}$，n=$\sqrt{（a+2）^{2}+4}$．
∴$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}$=$\frac{2{a}^{2}+16}{\sqrt{{a}^{4}+64}}$=$\sqrt{1+\frac{16{a}^{2}}{{a}^{4}+64}}$，③
当a≠0时，由③得，$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}$=$\sqrt{1+\frac{16}{{a}^{2}+\frac{64}{{a}^{2}}}}$≤2$\sqrt{2}$．
当且仅当a=±2$\sqrt{2}$时，等号成立．
当a=0时，由③得，$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}$=2．
故当a=±2$\sqrt{2}$时，$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}$的最大值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线方程和椭圆方程的求法，考查点的轨迹方程的求法，考查三角形面积最大值的求法，解题时要认真审题，注意直线和圆锥曲线的位置关系的灵活运用．