Question

如图，底面ABCD是边长为4的正方形，ED⊥平面ABCD，ED=2，EF∥BD，且2EF=BD．
（1）求证：BF⊥AC：
（2）求几何体ABCDEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）运用线面垂直的判定和性质，即可得证；
（2）将多面体分割成棱锥A-BDEF和C-BDEF，则V_ABCDEF=V_A-BDEF+V_C-BDEF=2V_A-BDEF，运用三棱锥的条件公式即可得到体积．

解答： （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，又ED⊥平面ABCD
∴ED⊥AC   而ED∩BD=D
∴AC⊥平面EFBD；
又BF?平面EFBD，
∴AC⊥BF．
（2）解：V_ABCDEF=V_A-BDEF+V_C-BDEF=2V_A-BDEF
又BD=4

2

，EF=2

2

V=

1

3

×

1

2

(4

2

+2

2

)×2×2

2

×2=16．

点评：本题主要考查线面垂直的判定和性质，同时考查割补思想，以及棱锥的体积公式．