Question

5．设$x∈（0，\frac{π}{2}）$，则函数$y=\frac{sin2x}{{2{{sin}^2}x+1}}$的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 变形可得2x∈（0，π），y=-$\frac{sin2x-0}{cos2x-2}$，表示点（cos2x，sin2x）和（2，0）连线斜率的相反数，点（cos2x，sin2x）在单位圆的上半圆，数形结合可得．

解答 解：∵$x∈（0，\frac{π}{2}）$，∴2x∈（0，π），
变形可得y=$\frac{sin2x}{1-cos2x+1}$=-$\frac{sin2x-0}{cos2x-2}$，
表示点（cos2x，sin2x）和（2，0）连线斜率的相反数，
而点（cos2x，sin2x）在单位圆的上半圆，
结合图象可得当直线倾斜角为150°（相切）时，
函数取最大值-tan150°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查三角函数的最值，转化为斜率并数形结合是解决问题的关键，属中档题．