Question

10．已知函数f（x）=$\frac{x+a}{{{x^2}+bx+1}}$是奇函数：
（1）求实数a和b的值；
（2）证明y=f（x）在区间（1，+∞）上单调递减
（3）解不等式f（x²-x+2）＜f（4）

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．
（2）根据函数单调性的定义进行证明．
（3）根据函数单调性的性质进行求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{x+a}{{{x^2}+bx+1}}$是奇函数，
∴f（0）=0，
则a=0，即f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+bx+1}$，
∴f（-x）=-f（x），
即$\frac{-x}{{x}^{2}-bx+1}$=-$\frac{x}{{x}^{2}+bx+1}$，
即x²-bx+1=x²+bx+1，
即-b=b，得b=0，
即a=b=0；
（2）∵a=b=0，∴f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，
设1＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}$-$\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$=$\frac{{x}_{1}（{{x}_{2}}^{2}+1）-{x}_{2}（{{x}_{1}}^{2}+1）}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$，
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，则1-x₁x₂＜0，
则f（x₁）-f（x₂）＞0，则f（x₁）＞f（x₂），
即y=f（x）在区间（1，+∞）上单调递减
（3）x²-x+2=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$＞1，
∵y=f（x）在区间（1，+∞）上单调递减
∴不等式f（x²-x+2）＜f（4）等价为x²-x+2＞4，
即x²-x-2＞0，解得x＞2或x＜-1，
即不等式的解集为（-∞，-1）∪（2，+∞）．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的证明和应用，利用定义法是证明函数单调性的基本方法．