Question

已知M是△ABC内的一点（不含边界），且

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为x，y，z，则

9

x+y

+

4

z

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,基本不等式

专题：平面向量及应用

分析：利用数量积运算与三角形的面积计算公式可得x+y+z=1，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：∵

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，
∴bccos30°=2

3

，
化为bc=4．
∴S_△ABC=

1

2

bcsin30°=1．
∴x+y+z=1．
∴

9

x+y

+

4

z

=（x+y+z）(

9

x+y

+

4

z

)=13+

9z

x+y

+

4(x+y)

z

≥13+2

9z x+y • 4(x+y) z

=25，当且仅当3z=2（x+y）=

6

5

时取等号．
∴

9

x+y

+

4

z

的最小值是25．
故答案为：25．

点评：本题考查了数量积运算与三角形的面积计算公式、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．