Question

（1）已知双曲线与椭圆

x2

27

+

y2

36

=1有相同的焦点且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程．
（2）求双曲线

x2

4

-

y2

3

=1有相同的渐近线且过点（2，3）的双曲方程．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设双曲线方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1，（a＞0，b＞0），由已知得c=3，

16

a2

-

15

b2

=1．由此能求出双曲线方程．
（2）设双曲线

x2

4

-

y2

3

=1有相同的渐近线的双曲线方程为

x2

4

-

y2

3

=λ，λ≠0，把点（2，3）代入，得

4

4

-

9

3

=λ，能求出双曲线方程．

解答： 解：由题意得椭圆的焦点为F₁（0，-3），F₂（0，3），
故可设双曲线方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1，（a＞0，b＞0），
由已知得c=3，则a²+b²=9．
由已知条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，
∴两交点的坐标为A（

15

，4），B（-

15

，4），点A在双曲线上，即

16

a2

-

15

b2

=1．
解方程组

a2+b2=9 16 a2 - 15 b2 =1

，得

a2=4 b2=5

，
∴双曲线方程为

y2

4

-

x2

5

=1．  …6分
（2）设双曲线

x2

4

-

y2

3

=1有相同的渐近线的双曲线方程为

x2

4

-

y2

3

=λ，λ≠0，
把点（2，3）代入，得

4

4

-

9

3

=λ，即λ=-2，
∴双曲线方程为：

y2

6

-

x2

8

=1．…12分．

点评：本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．