Question

14．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且2a_n=S_n+2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，求数列{${\frac{1}{{{b_n}{b_{n+2}}}}}\right.$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推公式即可求出数列的通项公式，
（2）利用裂项求和即可求出答案．

解答 解：（1）由2a_n=S_n+2得，2a_n-1=S_n-1+2（n≥2），
两式相减得a_n=2a_n-1（n≥2）．
当n=1时，a₁=2，
所以数列{a_n}是首项为2、公比为2的等比数列，
则${a_n}={2^n}$．
（2）由（1）知，b_n=n，
所以$\frac{1}{bnbn+2}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）．
则数列{$\frac{1}{bnbn+2}$}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）]=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）．

点评 本题考查了数列的通项公式的求法和裂项求和，属于中档题．