Question

3．数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a_n＞0，a_n²+2a_n=4S_n+3．
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}}的前n项和．

Answer 1

分析 （I）由$a_n^2+2{a_n}=4{S_n}+3$，当n=1时，得$a_1^2+2{a_1}=4{a_1}+3$，解出即可得出．
（Ⅱ） 由$a_n^2+2{a_n}=4{S_n}+3$，可知$a_{n+1}^2+2{a_{n+1}}=4{S_{n+1}}+3$．相减化为及其a_n＞0可得a_n+1-a_n=2．利用等差数列的通项公式即可得出．
（III）由a_n=2n+1，${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{+1}}}}=\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（I）由$a_n^2+2{a_n}=4{S_n}+3$，
当n=1时，得$a_1^2+2{a_1}=4{a_1}+3$，
解得a₁=-1，a₁=3．
由a_n＞0，∴a₁=3．
（Ⅱ） 由$a_n^2+2{a_n}=4{S_n}+3$①
可知$a_{n+1}^2+2{a_{n+1}}=4{S_{n+1}}+3$．②
由②-①可得$a_{n+1}^2-a_n^2+2（{a_{n+1}}-{a_n}）=4（{S_{n+1}}-{S_n}）=4{a_{n+1}}$，
即$2（{a_{n+1}}+{a_n}）=a_{n+1}^2-a_n^2=（{a_{n+1}}+a）（{a_{n+1}}-a）$，
由于a_n＞0可得a_n+1-a_n=2．
又a₁=3．∴数列{a_n}是首项为3，公差为2的等差数列，
∴数列{a_n}通项公式为a_n=2n+1．
（III）由a_n=2n+1，${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{+1}}}}=\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$．\
设数列{b_n}的前n项和为T_n，则T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}[{（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{2n+1}）-（\frac{1}{2n+3}）}]=\frac{n}{3（2n+3）}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的定义与通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．