Question

19．已知{a_n}是等比数列，{b_n}是首项为1，公差d大于零的等差数列，且满足a₁b₁=3，a₂b₂=27，a₃b₃=135．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n．

Answer 1

分析 （1）设{a_n}是公比为q的等比数列，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公比和公差，即可得到所求通项公式；
（2）运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）设{a_n}是公比为q的等比数列，
由a₁b₁=3，a₂b₂=27，a₃b₃=135，
可得a₁=3，3q（1+d）=27，3q²（1+2d）=135，
解得q=3，d=2，
即有a_n=a₁q^n-1=3•3^n-1=3ⁿ；
b_n=b₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）令S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=1•3+3•3²+5•3³+…+（2n-1）•3ⁿ，
3S_n=1•3²+3•3³+5•3⁴+…+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
相减可得-2S_n=3+2（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=3+2•$\frac{9（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
化简可得S_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查等比数列的求和公式的运用，属于中档题．