Question

设函数f（x）=log_ax（a＞0，a≠1），
（1）若不等式f（x）-x²＞0在（0，

1

2

）内恒成立，求a的取值范围；
（2）判断是否存在大于1的实数a，使得对任意x₁∈[a，2a]，都有x₂∈[a，a²]满足等式：f（x₁）+f（x₂）=p，且满足该等式的常数p的取值唯一？若存在，求出所有符合条件的a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将问题转化为在(0，

1

2

)内y=log_ax图象在y=x²图象的上方，得不等式组，解出即可；
（2）由题意得log_ax₁+log_ax₂=log_a（x₁x₂）=p，把x₂看作x₁的函数x2=

ap

x1

，其在区间[a，2a]上单调递减，得不等式组，解出即可．

解答： 解：（1）不等式logax＞x2在(0，

1

2

)内恒成立，
所以在(0，

1

2

)内y=log_ax图象在y=x²图象的上方，
∴

0＜a＜1 loga 1 2 ≥( 1 2 )2

，∴

1

16

≤a＜1．
（2）假设存在大于1的实数a满足条件，
由f（x₁）+f（x₂）=p，即log_ax₁+log_ax₂=log_a（x₁x₂）=p，
∴x1x2=ap，
把x₂看作x₁的函数x2=

ap

x1

，其在区间[a，2a]上单调递减，
∴x₁∈[a，2a]时，x2∈[

ap

2a

，

ap

a

]，
∴

ap 2a ≥a ap a ≤a2

，∴

p≥2+loga2 p≤3

，
因为常数p的取值唯一，所以2+

log

2 a

=3，解得：a=2，
所以存在大于1的实数a，且a=2．

点评：本题考查了对数函数的性质，考查了转化思想，是一道中档题．