Question

4．已知a_n=2n，f（n）=$\frac{{{a_1}+1}}{a_1}$×$\frac{{{a_2}+1}}{a_2}$×…×$\frac{{{a_n}+1}}{a_n}$，g（n）=$\sqrt{n+1}$（n∈N^*）．
（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；
（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）由a_n=2n，可得：f（n）=$\frac{3}{2}$×$\frac{5}{4}$×…×$\frac{2n+1}{2n}$，g（n）=$\sqrt{n+1}$（n∈N^*）．当n=1时，f（1）=$\frac{3}{2}$，g（1）=$\sqrt{2}$，因此f（1）＞g（1）；同理可得：f（2）＞g（2）；f（3）＞g（3）．
（2）猜想f（n）＞g（n）．利用数学归纳法证明即可得出．

解答 解：（1）∵a_n=2n，
∴f（n）=$\frac{{{a_1}+1}}{a_1}$×$\frac{{{a_2}+1}}{a_2}$×…×$\frac{{{a_n}+1}}{a_n}$=$\frac{3}{2}$×$\frac{5}{4}$×…×$\frac{2n+1}{2n}$，
g（n）=$\sqrt{n+1}$（n∈N^*）．
∴当n=1时，f（1）=$\frac{3}{2}$，g（1）=$\sqrt{2}$，因此f（1）＞g（1）；
同理可得：当n=2时，f（2）=$\frac{15}{8}$，g（2）=$\sqrt{3}$，因此f（2）＞g（2）；f（3）＞g（3）．
（2）猜想f（n）＞g（n）．
下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时，成立；
②假设当n=k∈N^*时，f（k）＞g（k）．
则当n=k+1时，f（k+1）=f（k）×$\frac{2k+3}{2k+2}$＞$\frac{2k+3}{2k+2}$×$\sqrt{k+1}$，
下面证明：$\frac{2k+3}{2k+2}$×$\sqrt{k+1}$$＞\sqrt{k+2}$，
∵4k²+12k+9＞4k²+12k+8，
∴（2k+3）²＞4（k+1）（k+2），
∴$\frac{（2k+3）^{2}}{4（k+1）^{2}}$＞$\frac{k+2}{k+1}$，
∴$\frac{（2k+3）^{2}}{2k+2}×\sqrt{k+1}$$＞\sqrt{k+2}$，
因此当n=k+1时，f（k+1）＞g（k+1）成立，
综上可得：命题对于?n∈N^*，f（n）＞g（n）．

点评 本题考查了归纳猜想、数学归纳法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．