Question

已知f（x）=

ex-e-x

2

，g（x）=

ex+e-x

2

（1）求证：f（2x）=2f（x）•g（x）；
（2）求证：g（2x）=[g（x）]²+[f（x）]²；
（3）判断f（x）与g（x）的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,有理数指数幂的化简求值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）（2）分别代入计算即可证明，
（3）利用函数的奇偶性的定义即可判断

解答： 解：（1）∵f（x）=

ex-e-x

2

，g（x）=

ex+e-x

2

，
∴

1

2

（e^2x-e^-2x），2f（x）g（x）=2•

ex-e-x

2

•

ex+e-x

2

=

1

2

（e^2x-e^-2x），
∴f（2x）=f（2x）=2f（x）•g（x）；
（2）∵g（2x）=

1

2

（e^2x+e^-2x），[g（x）]²+[f（x）]²=[

1

2

（e^x+e^-x）]²+[

1

2

（e^x-e^-x）]²=

1

4

（e^2x+e^-2x+2+e^2x-e^-2x-2）=

1

2

（e^2x+e^-2x），
∴g（2x）=[g（x）]²+[f（x）]²；
（3）∵f（-x）=

1

2

（e^-x-e^x）=-

1

2

（e^x-e^-x）=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数，
∵g（-x）=

1

2

（e^-x+e^x）=

1

2

（e^x-e^-x）=g（x），
∴函数f（x）为偶函数．

点评：本题考查等式的证明，以及函数奇偶性，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的运算法则的合理运用．是基础题