Question

设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x²+2x+a，若f（x）≤a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：本题可以利用函数当x＜0时，f（x）=x²+2x+a，得到当x＜0时，f（x）的函数值的取值范围，再利用y=f（x）是定义在R上的奇函数，得到y=f（x）在（0，+∞）上函数值的取值范围，f（x）≤a+1对一切x≥0成立，得到关于a的不等关系，解不等式，得到本题结论．

解答： 解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（0）=0．
∴当x＜0时，f（x）=x²+2x+a，
∴当x＞0时，-x＜0，
∴f（x）=-f（-x）=-[（-x）²+2（-x）+a]=-x²+2x-a，
f（x）=-（x-1）²+1-a≤1-a．
∵f（x）≤a+1对一切x≥0成立，
∴a+1≥0，且1-a≤1+a，
∴a≥0．
故答案为：[0，+∞）．

点评：本题考查了函数的奇偶性、函数解析式以及函数的值域，本题难度不大，属于基础题．