Question

19．一元二次方程x²+2ax-b+1=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内．则a²+b²-4a+2b的取值范围是（$\frac{24}{5}$，8）．

Answer 1

分析 根据二次函数的根的范围得出不等式组，得出a，b满足的条件，作出平面区域，将问题转化为线性规划问题求解．

解答 解：令f（x）=x²+2ax-b+1，则$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（1）＜0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b＜1}\\{2a-b+2＜0}\\{4a-b+5＞0}\end{array}\right.$，作出平面区域如图：
a²+b²-4a+2b=（a-2）²+（b+1）²-5．
由图可知P（2，-1）到平面区域的最短距离为点P到直线2a-b+2=0的距离$\frac{7}{\sqrt{5}}$，
P（2，-1）到平面区域的最长距离为点P到A的距离PA=$\sqrt{13}$．
∴$\frac{49}{5}＜$（a-2）²+（b+1）²＜13，∴$\frac{24}{5}＜$（a-2）²+（b+1）²-5＜8．
故答案为（$\frac{24}{5}$，8）．

点评 本题考查了二次函数的性质，线性规划，距离公式的应用，属于中档题．