Question

【题目】已知为抛物线的焦点，以为圆心作半径为的圆，圆与轴的负半轴交于点，与抛物线分别交于点.

（1）若为直角三角形，求半径的值；

（2）判断直线与抛物线的位置关系，并给出证明.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 直线与抛物线相切.

【解析】

(1)由对称性可知, 为等腰直角三角形,且轴, 为直径,再根据的横坐标为,代入抛物线的方程求解纵坐标即可得半径.

(2)画图观察可知与抛物线相切,再设,根据圆的半径相等求得点坐标.再根据导数的几何意义求解抛物线在处的切线斜率,进而证明与直线的斜率相等即可.

(1)由抛物线与圆的对称性可知, 点关于轴对称,故为直角.故为等腰直角三角形, 且轴,为直径.故的横坐标为,代入可得.

故.

(2)不妨设.则根据抛物线的定义以及圆的半径相等有,故的横坐标为.即.

故直线的斜率为.

又抛物线的上半部分为函数,故,故在处切线的斜率为.故直线为在处切线.

故直线与抛物线相切.