Question

【题目】已知函数.

（1）若函数有两个极值点，试求实数的取值范围；

（2）若且，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求函数导数，有2个极值点转化为方程有两解，利用导数分析，得函数大致形状，即可求解；

（2）不妨令，利用单调性知，构造函数，利用导数求其最小值即可得证.

（1）∵，

∴.

令，

函数有两个极值点，即方程有两个不相等的根，

显然时，方程不成立，即不是方程的根，

所以原方程有两个不相等的根转化为有两个不相等的根，

不妨令.

，

∴在，递减，在递增，，且时，.

∵方程有两个不等根，

图象与图象有两个不同交点，

∴只需满足

即.

（2）不妨令，

∴在递减.

，不妨令：，

∴.

令，

则，

由得，

由得，

∴在递减，在递增.

∴，

∴，

∴在递增.

∴，

当且时，.