Question

【题目】在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，为正三角形，与平面所成的角为，平面平面.

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

(1)由题意过作，为垂足，连接，可得到平面，根据与平面所成的角为即，根据边角关系可得到，从而有平面，再根据四边形是边长为2的菱形可得，所以有平面，即可证明；

(2) 以为原点，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向．建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出平面与平面的法向量，利用数量积求夹角即可.

证明，（1）过作，为垂足，连接．

因为平面平面，平面平面．

所以平面,

所以为与平面所成的角，即．

因为．所以，

又，所以是的中点．

因为为正三角形．所以,

又，所以平面，

所以．

因为四边形是边长为2的菱形，所以．

又．所以平面．

所以.

解：（2）以为原点，以，，的方向

分别为轴，轴，轴的正方向．建立空间直角坐标系，

，，，，

所以，，．

设平面的法向量为，则，即

取，则，

根据（1），平面，平面的法向量为，则

．

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．