Question

10．在△ABC中，D为边AC上一点，AB=4，AC=6，$BD=2\sqrt{6}$，$BC=2\sqrt{10}$．则∠A+∠CBD=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 由已知利用余弦定理可求cosA，AD，CD的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用正弦定理即可求得sinC，sin∠CBD的值，由∠CBD为锐角，$sin∠CBD=sin（\frac{π}{2}-A）$，从而可得$∠A+∠CBD=\frac{π}{2}$．

解答 解：∵AB=4，AC=6，$BC=2\sqrt{10}$．$cosA=\frac{{A{B^2}+A{C^2}-B{C^2}}}{2AB•AC}=\frac{16+36-40}{2×4×6}=\frac{1}{4}$，
设AD=x，
由余弦定理，BD²=AB²+AD²-2AB?ADcosA，得24=16+x²-4x，即x²-4x-8=0，解得x=4或x=-2（舍去），
∴CD=2．
∵cosA=$\frac{1}{4}$，∴sinA=$\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
∴$sinC=\frac{ABsinA}{BC}=\frac{{4×\frac{{\sqrt{15}}}{4}}}{{2\sqrt{10}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，
∴$sin∠CBD=\frac{CDsinC}{BD}=\frac{{2×\frac{{\sqrt{6}}}{4}}}{{2\sqrt{6}}}=\frac{1}{4}$，
∵CD＜BD，∴∠CBD为锐角．
∴cosA=$sin∠CBD=sin（\frac{π}{2}-A）$，
∴$∠A+∠CBD=\frac{π}{2}$．
故答案为：$\frac{π}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，诱导公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．