Question

15．已知两个单位向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$，向量2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ．则cosθ=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

Answer 1

分析 由条件利用两个向量的数量积的定义求得＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=120°，两个向量的数量积的定义求得cosθ的值．

解答 解：两个单位向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$，可得1•1•cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=-$\frac{1}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=120°．
∵向量2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=-1-1=-2．
又|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{{4\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{+\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{4+2+1}$=$\sqrt{7}$，
∴（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{7}$•1•cosθ=-2，∴cosθ=-$\frac{2}{\sqrt{7}}$=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
故答案为：-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．