Question

已知椭圆C：

y2

4

+x²=1，过点（0，m）作圆x²+y²=1的切线交椭圆C于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）将|AB|表示成m的函数，并求|AB|的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）椭圆的半长轴长a=2，半短轴长b=1，半焦距c=

a2-b2

=

3

，即可求椭圆C的焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）分类讨论，将|AB|表示成m的函数，直线与椭圆方程联立，利用弦长公式，即可求|AB|的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）椭圆的半长轴长a=2，半短轴长b=1，半焦距c=

a2-b2

=

3

，（2分）
∴焦点坐标是(0，

3

)，(0，-

3

)，离心率是e=

c

a

=

3

2

；                                （5分）
（Ⅱ）易知|m|≥1，当|m|=1时，切线AB方程为y=1或y=-1，此时|AB|=

3

；         （6分）
当|m|＞1时，易知切线AB方程斜率不为0，可设切线AB的方程为：y=kx+m，
即kx-y+m=0，则

|m|

1+k2

=1，得：k²=m²-1①
联立：

y=kx+m y2 4 +x2=1

，得：

(kx+m)2

4

+x2=1，整理：（k²+4）x²+2kmx+m²-4=0（8分）
其中△=（2km）²-4（k²+4）（m²-4）=-16m²+16k²+64
则|AB|=

1+k2

-16m2+16k2+16

k2+4

②
①代入②：|AB|=

4 3 |m|

m2+3

，（10分）
而|AB|=

4 3 |m|

m2+3

=

4 3

|m|+ 3 |m|

≤2，等号成立当且仅当|m|=

3

|m|

，即m=±

3

时．          （12分）

点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．