Question

在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600无后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如图所示；③每月需要各种开支2000元．
（1）当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；
（2）企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据条件关系建立函数关系，根据二次函数的图象和性质即可求出函数的最值；
（2）根据函数的表达式，解不等式即可得到结论．

解答： 解：设该店月利润余额为L，则由题设得L=Q（P-14）×100-3600-2000，①
由销量图易得Q=

-2P+50 - 3 2 P+40

(14≤P≤20)， (20＜P≤26)，

代入①式得L=

(-2P+50)(P-14)×100-5600 (- 3 2 P+40)(P-14)×100-5600

(14≤P≤20)， (20＜P≤26)，

（1）当14≤P≤20时，L_max=450元，此时P=19.5元，当20＜P≤26时，L_max=

1250

3

元，
此时P=

61

3

元．故当P=19.5元时，月利润余额最大，为450元，
（2）设可在n年内脱贫，依题意有12n×450-50000-58000≥0，
解得n≥20，
即最早可望在20年后脱贫．

点评：本题主要考查与函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用二次函数的图象和性质是即可得到结论．