Question

已知f（x）=sin2x+2sin²x．
（I）求f（

π

4

）的值；
（Ⅱ）设θ∈（0，π），f（

θ

2

）=

4

5

，求tanθ的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：（I）直接根据函数的表达式直接代入即可求f（

π

4

）的值；
（Ⅱ）设θ∈（0，π），f（

θ

2

）=

4

5

，建立条件关系即可求tanθ的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x-cos2x+1，
∴f(

π

4

)=sin

π

2

-cos

π

2

+1=2．
（Ⅱ）∵f（

θ

2

）=sinθ-cosθ+1=

4

5

，
∴sinθ-cosθ=-

1

5

，平方得2sinθcosθ=

24

25

＞0，
∵θ∈（0，π），∴θ∈（0，

π

2

），
则（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=

49

25

，
∴sinθ+cosθ=

7

5

，解得sinθ=

3

5

，cosθ=

4

5

，
则tanθ=

sinθ

cosθ

=

3

4

．

点评：本题主要考查三角函数求值问题，利用三角函数的同角的关系式是解决本题的关键．