Question

19．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=4，且对任意m，n，p，q∈N^*，若m+n=p+q，则有a_m+a_n=a_p+a_q．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和为S_n，求证：$\frac{1}{4}$≤S_n＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （I）令m=1，p=n-1，q=2，可得：a_n+a₁=a_n-1+a₂，即a_n-a_n-1=3．（n≥2）．利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$．利用裂项求和方法与数列的单调性即可证明．

解答 （I）解：令m=1，p=n-1，q=2，可得：a_n+a₁=a_n-1+a₂，即a_n-a_n-1=3．（n≥2）．
∴数列{a_n}是等差数列，公差为3．
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2．
（II）证明：$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$．
∴S_n=$\frac{1}{3}[（1-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）]$
=$\frac{1}{3}$$（1-\frac{1}{3n+1}）$＜$\frac{1}{3}$．
另一方面：数列$\{-\frac{1}{3n+1}\}$单调递增，∴S_n≥S₁=$\frac{1}{4}$．
∴$\frac{1}{4}$≤S_n＜$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．