Question

如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD∥FE，∠AFE=60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB=

1

2

AD=2，点G为AC的中点．
（Ⅰ）求证：EG∥平面ABF；
（Ⅱ）求三棱锥B-AEG的体积；
（Ⅲ）试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的性质,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：

分析：（Ⅰ）取AB中点M，连接MG，则EF∥MG，①即得证．
（Ⅱ）转换三棱锥B-AEG为E-ABG即可求得体积．
（Ⅲ）只要证明AE⊥CDE即可．

解答： （I）证明：取AB中点M，连FM，GM．
∵G为对角线AC的中点，
∴GM∥AD，且GM=

1

2

AD，
又∵FE∥

1

2

AD，
∴GM∥FE且GM=FE．
∴四边形GMFE为平行四边形，即EG∥FM．
又∵EG?平面ABF，FM?平面ABF，
∴EG∥平面ABF．…（4分）
（Ⅱ）解：作EN⊥AD，垂足为N，
由平面ABCD⊥平面AFED，面ABCD∩面AFED=AD，
得EN⊥平面ABCD，即EN为三棱锥E-ABG的高．
∵在△AEF中，AF=FE，∠AFE=60°，
∴△AEF是正三角形．
∴∠AEF=60°，
由EF∥AD知∠EAD=60°，
∴EN=AE?sin60°=

3

．
∴三棱锥B-AEG的体积为VB-AEG=VE-ABG=

1

3

S△ABG•EN=

1

3

×

1

2

×2×2×

3

=

2 3

3

．…（8分）
（Ⅲ）解：平面BAE⊥平面DCE．证明如下：
∵四边形ABCD为矩形，且平面ABCD⊥平面AFED，
∴CD⊥平面AFED，
∴CD⊥AE．
∵四边形AFED为梯形，FE∥AD，且∠AFE=60°，
∴∠FAD=120°．
又在△AED中，EA=2，AD=4，∠EAD=60°，
由余弦定理，得ED=2

3

．
∴EA²+ED²=AD²，
∴ED⊥AE．
又∵ED∩CD=D，
∴AE⊥平面DCE，
又AE?面BAE，
∴平面BAE⊥平面DCE．   …（12分）

点评：本题考查了线面平行的判定，借助体积的计算考查了线面垂直以及面面垂直的判定和性质．