Question

15．已知函数f（x）=ax²+x-2，g（x）=x³+x²+3x-2
（1）若函数f（x）在（0，+∞）有两个不同的零点，求实数a的取值范围；
（2）当x∈[1，3]，不等式f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分a=0和a≠0两种情况讨论，对于后者利用跟的判别式求解即可；
（2）将不等式f（x）＜g（x）转化为a＜x+1+$\frac{2}{x}$，利用基本不等式解决即可

解答 解：（1）∵f（x）=ax²+x-2，
∴当a=0时，由f（x）=x-2=0得，函数f（x）有零点2，
当a≠0时，函数f（x）有零点等价于△=1-8a≥0，
即a$≤\frac{1}{8}$且a≠0，
综上可得，若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{8}$]；
（2）∵f（x）=ax²+x-2（a∈R），g（x）=x³+x²+3x-2，
∴不等式f（x）＜g（x）可化为，
ax²＜x³+x²+2x…①，
又∵x∈[1，3]，
∴①可化为a$＜x+1+\frac{2}{x}$，
根据基本不等式可知，x+1+$\frac{2}{x}$$≥2\sqrt{2}$+1，当且仅当x=$\sqrt{2}$时等号成立，
∴实数a的取值范围是（-∞，2$\sqrt{2}$+1）．

点评 本题考查零点存在性定理，基本不等式的灵活应用，属于中档题